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principalement de déduction et de synthèse ; mais il est clair qu'elle est fondée de quelque manière sur l'expérience (puisque toutes nos connaissances ont quelque origine sensible), et qu'elle ne peut pénétrer de plus en plus la réalité des choses que par une analyse toujours plus profonde des idées. La psychologie use des mêmes moyens. Elle fait un appel spécial à l'expérience interne, aux données de la conscience. Sa méthode principale est l'introspection (1). « Se connaître soi-même », c'est le tout de la psychologie. A cause de ses relations étroites avec la physiologie, elle a recours aussi aux expériences de laboratoire. Mais on a trop oublié que les phénomènes psychologiques, la pensée, la volonté, et même la sensation et la passion sont irréductibles aux phénomènes physiologiques, ou physiques, qui leur sont associés. Il faut donc ramener à sa juste valeur la méthode expérimentale et le genre de recherches pratiquées dans les laboratoires de psychologie, qui se sont multipliés dans les deux mondes. Néanmoins une connaissance plus scientifique de l'homme physique, dans son état normal ou de santé et dans ses états pathologiques, contribue notablement à une connaissance complète de l'homme intelligent et moral (2). La psychologie reçoit aussi des contributions importantes de l'histoire et en général des sciences sociales.

375. Méthode des mathématiques. — La méthode particulière qui tranche le plus sur toutes les autres, est celle des mathématiques et en particulier de la géométrie.Assez abstraites pour se séparer nettement de toutes les sciences

(1) L'introspection est entendue d'une manière bien étroite par des professeurs de laboratoires de psychologie. Ils en espèrent néanmoins de grands résultats (V. MICHOTTE, A propos de la méthode d'introspection dans la psychologie expérimentale, dans la Revue néo-scolastique, nov. 1907).

(2) Cf. le Père GEMELLI, O. M., Del valore dell' esperimento in psicologia, Milan, La scuola cattolica, 1907.

de la nature, pas assez pour se confondre jamais avec la métaphysique, les mathématiques ont un objet à part qui peut toujours s'imaginer ou se compter, au moins en partie, et qui cependant obéit à des lois absolues. De là le caractère de leur méthode. Il peut sembler, à certains égards, qu'elle est expérimentale, parce que les notions premières des mathématiques, celles de nombre, de quantité, de distance, de centre, de figure, de plus et de moins, sont fournies par les sens. Mais il n'en est rien ; car ces notions ne deviennent les principes des mathématiques qu'autant qu'elles passent des sens dans l'esprit. L'esprit seul concoit les définitions et les lois absolues qui règlent le monde mâthématique. Ayant connu ces lois, qui toutes sont fondées sur le principe de contradiction ou d'identité, par ex. : Le tout est plus grand que la partie. — Deux choses égales à une troisième sont égales entre elles. — Le plus court chemin d'un point à un autre c'est la ligne droite, etc., l'esprit déduit une à une et indéfiniment toutes les conclusions.

La méthode mathématique est donc principalement, ou du moins tout d'abord, déductive. Ce qu'on est convenu même d'appeler l'analyse mathématique est une véritable déduction ; car on déduit non seulement en passant du tout à la partie, d'une loi à ses applications, mais encore en allant du même au même et en donnant par exemple à une équation toutes les formes possibles, de manière à mettre en évidence tous ses éléments, à l'effet de connaître les uns par les autres, c'est-à-dire de dégager l'inC0/l/lll62.

Néanmoins il serait injuste de conclure que la méthode des mathématiques est toute déductive. Aucune science complète, ni surtout aucune science particulière et progressive ne se suffit avec la déduction ; à ce double titre il y a dans les mathématiques (et nous ne parlons plus des mathématiques élémentaires)

beaucoup de place pour l'induction, l'invention, l'intuition (1).

376. L'évidence mathématique. — On s'est demandé souvent à quoi tenait l'évidence invincible qui paraît être le privilège des mathématiques. Remarquons d'abord que la plupart des conclusions mathématiques (nous parlons des conclusions plus ou moins éloignées et, par conséquent, d'une évidence médiate), ne sont rien moins qu'incompatibles avec toute espèce de doute. En réalité, il en est des mathématiques comme de toutes les connaissances : elles sont faites de lumières et d'ombres. Citons, à ce sujet, un mathématicien qui mérite d'être écouté, tant pour sa valeur personnelle que pour avoir publié les travaux ou écrit la vie de savants illustres : « Dans les mathématiques, en définitive, conclut-il, il n'y a qu'un très petit nombre de propositions qu'on puisse énoncer d'une manière absolue ; les autres ne subsistent qu'avec un caractère relatif et sont ordinairement assujetties à de nombreuses restrictions. Tel était, en particulier, l'avis de l'illustre géomètre Augustin Cauchy, l'homme le mieux en mesure peut-être de savoir à quoi s'en tenir à ce sujet.Assurément, ces imperfections ne sauraient nuire en rien à la certitude légitime des mathématiques, mais il n'était pas inutile de rappeler que ces sciences elles-mêmes ont leurs obscurités et leurs incertitudes, absolument comme les autres sciences (2) ». ls Remarquons ensuite que si les vérités mathématiques immédiates ou les plus clairement déduites comme 2 +2=4 ou le théorème du carré de l'hypoténuse, ont une évidence particulièrement irrésistible, cela tient à ce que ces vérités sont sensibles, pour ainsi dire, à cause des grandeurs et des nombres qui en sont l'objet, au lieu que les vérités métaphysiques ou morales même les plus sim

(1) Voir par ex. E. BoREL, La logique et l'intuition en mathématiques (Revue de métaph. et de morale, 1907, mai); — H. PoINCARÉ, Les mathématiques et la logique, Ibid., 1905 nov. p. 815-835 , 1906 janv., p. 17-34.

(2) VALsoN, les Savants illustres, Discours prélim., IV.

ples, échappent toujours au contrôle et à l'intuition des sens ; ce qui permet de les nier ou plutôt de paraître les nier, quelquefois impudemment. Mais il y a nombre de vérités de l'ordre moral qui ne le cèdent à aucune autre en évidence et qu'on ne peut nier que par un mensonge de mots et un jeu de l'esprit.

377. Méthode géométrique. — Parmi les mathématiques, la géométrie, avec sa méthode, mérite une attention spéciale. La démonstration géométrique a été prise pour modèle, et cela s'explique par ce qui vient d'être dit. Mais faut-il conclure avec Descartes, Spinosa, etc..., que la méthode géométrique est universelle et qu'il faut l'im| poser à toutes les sciences ? On a vu, dans le chapitre précédent (n° 368), que c'est là une erreur. Saint Thomas avait déjà fort bien aperçu et caractérisé cet abus de la méthode géométrique, cette tendance de certains esprits à vouloir tout traiter à la manière d'un calcul de nombres ou de figures : « Quelques-uns, écrivait-il, n'admettent rien qui ne leur soit dit mathématiquement; et c'est là un effet de l'habitude chez ceux qui ont été nourris dans l'étude des mathématiques, car l'habitude est une seconde nature. Mais cela peut provenir aussi d'un manque de capacité, chez ceux qui ont une imagination forte et une intelligence peu élevée (1). »

Après ces réserves on ne peut que souscrire aux règles que donne Pascal dans son petit traité de l'Esprit géométrique. Règles pour les axiomes. — 1° « N'omettre aucun principe nécessaire sans avoir demandé si on l'accorde, quelque clair et évident qu'il puisse être. » 2° « Ne demander en axiomes que des choses parfaitement évidentes d'elles-mêmes. »

Règles pour les définitions. 1° « N'entreprendre de

(1) In lib. II Metaph. Lect. v. — Sur le mathématisme et ses abus. V. MoISANT, La pensée philosophique et la pensée mathématique. Revue de philosophie, 1905, janvier p. 5-24 ; — février p. 135-148.

définir aucune des choses tellement connues d'elles-mêmes qu'on n'ait point de termés plus clairs pour les expliquer. » C'est pourquoi la géométrie « ne définit aucune de ces choses, espace, temps mouvement, etc. » — 2° « N'omettre aucun des termes un peu obscurs ou équivoques sans le définir. » — 39 « N'employer dans la définition des termes que des mots parfaitement connus ou déjà expliqués. » Règles pour les déductions. —- 1° « N'entreprendre de démontrer aucune des choses qui sont tellement évidentes d'elles-mêmes qu'on n'ait rien de plus clair pour les prouver. » 2° « Prouver toutes les propositions un peu obscures, et n'employer à leur preuve que des axiomes très évidents, ou des propositions déjà accordées ou démontrées. » — 39 « Substituer toujours mentalement les définitions aux définis pour ne pas se laisser tromper par l'équivoque des termes. . » La plupart de ces règles, on le voit, sont générales, et conviennent à toute science ; telle autre, au contraire, serait fausse, si on la transportait en philosophie. La philosophie, en effet, doit définir ou expliquer des notions telles que l'espace, le temps, le mouvement ; elle commence précisément où la géométrie finit. , ! Pascal ramène ses huit règles à deux : 19 Définir tous les noms qu'on impose. 29 Prouver tout, en substituant mentalement la définition au défini. Elles sont excellentes; il suffit de ne pas interpréter trop étroitement la seconde. En effet, à quoi bon les signes, surtout les mots qui résument de longues définitions, s'il fallait qu'ils fussent toujours accompagnés actuellement dans l'esprit de tout ce qu'ils signifient. Voici maintenant les défauts de méthode dans lesquels tombent trop souvent les géomètres. Nous empruntons cette énumération au logicien de Port-Royal : 1° Avoir plus de soin de la certitude que de l'évidence, et de convaincre l'esprit que de l'éclairer. — 29 Prouver des choses qui n'ont pas besoin de preuves. —39 Abuser des démons

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