Denken wir zuerst nur zwei Teile A und B, so kann der Zusatz, durch den die Schwierigkeit entstehen soll, in verschiedener Form gemacht werden:

a) B zerfällt wieder in B und C."

Versteht man dieses zerfällt" so, dass man die Teile darin unterscheiden kann (wie ich es a. a. O. verstanden), so wussten wir dies in der That schon vorher, und läge also in solcher Problemstellung von vornherein eine Absurdität. Ein Wahrscheinlichkeitsansatz in Bezug auf endliche Teile hat nur dann Sinn, wenn es sich um wirklich unterschiedene, nicht wenn es sich um blos unterscheidbare Teile handelt.

Um dies noch deutlicher zu machen, liess ich statt der Teile der Ebene, auf welche die Kugel fallen kann, ebensoviele Beutel gegeben sein. Hier kann eine bestimmte Wahrscheinlichkeit angegeben werden, auch wenn wir über ihr Grössenverhältnis gar nichts wissen, ja sogar wenn wir wissen, dass sie ungleich gross sind, aber nicht wissen, in welcher Weise (a. a. O. 70): denn es ist uns dann doch eine actuelle, vollzogene Teilung, also eine feste Anzahl gleichmöglicher Fälle (in unserem Sinne) gegeben.

"

b) B ist actuell in B und C geteilt, ohne dass wir über den Hergang der Teilung, die etwaige Priorität der Teile A und B, die gewöhnliche Verwendung der Buchstaben verschiedener Alphabete in solchen Fällen u. s. f. etwas wissen."

Dann ist der Fall natürlich genau derselbe, wie wenn uns von Anfang drei Teile A B C gegeben sind, also Wahrscheinlichkeit für jeden. Ueberhaupt ist bei fortgesetzten Teilungen unter solchen Umständen selbstverständlich keine andere Anzahl von Teilen als die durch die letzte Teilung erhaltene massgebend und von einer Paradoxie, einem Gleichgelten mehrerer Teilungsergebnisse, keine Rede.

c) Nachdem die Teilung in A und B erfolgt ist, werde B weiter in B und C zerlegt, wobei die Ursache der zweiten Teilung in keinem Zusammenhang mit derjenigen der ersten stehe. Wiederum sei die Frage nach den Wahrscheinlichkeiten für das Getroffen werden der drei so entstandenen Teile."

Man kann sich den Hergang mit Herrn Brunn so vorstellen, dass successive zwei Puncte auf eine Gerade fallen, der zweite mit der Beschränkung auf den durch den ersten gebildeten Teil B, übrigens aber ohne causalen Zusammenhang mit dem ersten. Es kann die Ursache auch in einer Absicht liegen, die Puncte können willkürlich gesetzt sein: nur müssen auch dann die Absichten oder Willensacte zu einander im Zufallverhältnis stehen. Die zweite Teilung darf nicht etwa bei der ersten schon in Aussicht genommen sein (sonst würde der Fall in den vorigen unter b) übergehen), und es darf bei ihrem Vollzug auch nicht irgendwelche Rücksicht auf das Verhältnis des Teiles B zum Ganzen obwalten, was psychologisch nur dann streng erfüllt sein wird, wenn dem zuzweit teilenden Subject überhaupt blos die Strecke B vor Augen liegt und keine Vermutung möglich ist, ob sich rechts oder links davon weitere Teile befinden.

Die zeitliche Folge ist eingeführt, um die Beschränkung der zweiten Teilung auf den einen der durch die erste gegebenen Teile möglichst anschaulich zu machen. An sich ist natürlich nur diese Beschränkung selbst wichtig und könnten die beiden Teilungen statt als erste und zweite auch als Teilung X und Y bezeichnet werden.

Die Wahrscheinlichkeit für B und C ist hier je, für A Herr Brunn beweist dies, indem er die Längenverhältnisse, obschon sie hier nicht bekannt sind, in algebraischen Symbolen einführt und den Fall nach dem unter 1. besprochenen Princip behandelt. Es ist in sich selbst interessant, dass man auch auf diesem Wege zum Ziele kommt, und für Manche ist er gewiss der überzeugendere. Es geht daraus hervor,

dass, auch wenn man nur das Messungsprincip gelten lassen, also gleichmögliche Fälle nur als physisch gleiche verstehen will, die obige Fragestellung zu einer und nur Einer Antwort führt. Aber abgesehen davon dürfte das Zählprincip auf einfachere Weise zu dem gleichen Ergebnis führen.

Denn hiernach ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein fallender Punct in B fällt, nachdem erst zwei Teile A und B actuell unterschieden sind, . Ganz ebenso ist die Wahrscheinlichkeit, dass, wenn eine Strecke B gegeben ist (unbestimmt, ob sich daran noch eine andere A rechts oder links anreiht), und wenn darin zwei Teile B und C actuell unterschieden sind, ein fallender Punct in B fällt, . Also die Wahrscheinlichkeit für B als Teil des Teiles B.

=

Man kann diese und analoge Fragestellungen einfach so behandeln, als wenn jede Teilung in zwei oder allgemein in n Teile von unbekanntem Verhältnis eine Teilung in ebensoviele gleiche Teile wäre. Gleiche Unkenntnis ist in Bezug auf die resultirende Wahrscheinlichkeit aequivalent mit Kenntnis der Gleichheit (ausgenommen wenn wir nur über ein einziges Moment in Unkenntnis sind, wobei durch diese Substitution die Wahrscheinlichkeit in Sicherheit überginge).

Also z. B. bei fortgesetzten (n) Teilungen in zwei Teile, wobei immer einer der zuletzt erhaltenen Teile in zwei weitere zerlegt wird, ergibt sich für jeden der beiden durch die letzte Teilung erhaltenen Teile Das Nämliche folgt,

1

2"

wenn die Bedingung gestellt ist, dass immer der zuäusserst links (rechts) gelegene Teil weiter geteilt wurde. Analoges, wenn die Zahl der Teile irgend eine andere oder abwechselnd bald diese bald jene ist.

Für das Beutel-Beispiel meiner Abhandlung folgt: wenn einem der fünf Beutel drei substituirt werden, deren Oeffnungen zusammen der des vorherigen Einen gleichkommen, so geht die Wahrscheinlichkeit nicht in für jeden der nun

vorhandenen über, sondern bleibt für die ungeteilten wie vorher und wird für die drei neuen je, obschon nach wie vor über das Grössenverhältnis der sämmtlichen Oeffnungen zu einander nichts bekannt ist.

d) Eine gänzlich andere Fassung der Frage (und vielleicht eine dem Sinne des Kries'schen Originals genauer entsprechende) liegt der Lösung zu Grunde, welche Herr F. Brentano dem Paradoxon gibt. Er schreibt: Wenn mir in einem Falle bezüglich eines Raumgebietes nichts bekannt ist, als dass man von ihm zwei Einteilungen gemacht hat oder zu machen pflegt, von denen keine mehr als die andere Anspruch hat, als eine Einteilung in gleiche Teile genommen zu werden: so habe ich bei der Bestimmung der Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses, deren Grösse, wenn die relative Grösse der Teile bekannt wäre, sich ganz und gar nach dieser richten würde, offenbar nichts als jene Einteilungen, sie aber auch beide und beide gleichmässig in Betracht zu ziehen."

Hienach wäre, wenn mir von einem Raumgebiet einerseits gesagt wird, dass es in A und B, andrerseits, dass es in A, B, C eingeteilt wurde oder zu werden pflegt, die Wahrscheinlichkeit, dass der unbekannte Punct in A liegt, = } ({ + 1) = ; also, dass er in B (C) liegt 24

5 12

=

7

Es ist hier bezeichnenderweise nicht von Teilungen, sondern von Einteilungen gesprochen. Einteilungen können auch stattfinden, wenn es sich gar nicht um Raumgebiete, sondern um Begriffsgebiete handelt. Wird durch eine Einteilung, wie hier angenommen ist, zugleich ein Raumgebiet in bestimmte Teile zerlegt, so kann der Einteilungsgrund gleichwohl ein s. z. s. qualitativer sein. Die Erdoberfläche oder ein Stück derselben kann nach politischen, ethnologischen, klimatologischen und anderen Gesichtspuncten eingeteilt und zugleich räumlich geteilt werden. Wenn dagegen eine mathematische Gerade durch einen Punct geteilt wird, so unterscheiden

sich die Teile durch nichts anderes als durch ihre Grösse. Will man auch hier von einer Einteilung und einem Einteilungsgrunde reden, so müsste man eben die Grösse als solchen bezeichnen.

Der Unterschied der Fälle leuchtet auch dadurch ein, dass bei blossen Teilungen nicht zugleich drei und blos zwei Abschnitte vorhanden sein können, während Einteilungen in zwei und in drei Glieder bei verschiedenem Einteilungsprincip natürlich sehr wol zugleich zutreffen können.

Es habe nun eine vollständige Einteilung, wodurch zugleich ein Raumgebiet geteilt wird, die coordinirten Glieder A B, eine andere Einteilung, wodurch dasselbe Raumgebiet geteilt wird, die coordinirten Glieder A B C, ohne dass wir über die Beschaffenheit der beiden Einteilungsgründe das Geringste wissen, so kann hier nicht etwa geschlossen werden, dass das zu B gehörige Gebiet wahrscheinlich grösser sei, als das von A. Die Gemeinschaftlichkeit des Gliedes A hat nur zur Folge, dass für dieses auch eine Wahrscheinlichkeit aus beiden Einteilungen zusammen berechnet werden kann; aber keine von beiden Wahrscheinlichkeiten erleidet durch die Rücksicht auf die andere eine Modification, beide sind einfach. mit gleichem Gewicht einzusetzen.

e) Sobald endlich die Frage auch nur in irgend einem Puncte concreter gestellt ist, kann sofort wieder die Sachlage und Wahrscheinlichkeitsbestimmung eine wesentlich andere sein. Bei concreten Räumen, wie bei der Erdoberfläche in der ursprünglichen Fassung der Paradoxie bei Kries wird man in der Regel vermuten dürfen oder ist es in der Formulirung vielleicht direct enthalten, dass die zuerst genannte Einteilung eine sog. Haupteinteilung (z. B. Meer und Land), die zweite und folgenden sog. Untereinteilungen (Erdteile u. s. f.) bedeuten. Und wenn nun auch eine Unterabteilung unter Umständen grösser sein kann als die grösste Hauptabteilung (da eben nicht blos die Grösse massgebend zu sein