anc videamus connumeratorum quæ partitio namque arbitror eam esse per..n. Unum enim genus est connumeratorum, in 40 minor numerus metitur majorem; id est aliquoties eum habet major 1 sicut numeros duo et quatuor esse diximus: videmus enim duo a quatuor bis haberi ; quæ ter haberentur, si non quatuor, sed sex ad duo poneremus; quater autem, si octo; quinquies, si decem. Aliud genus est, in quo ea pars qua excedit major minorem, ambos metitur; id est aliquoties habent eam et major et minor, quod in illis numeris jam perspeximus, sex et octo. Nam pars illa qua exceditur minor, duo sunt, quos vides esse in octonario numero quater, in senario ter: quare hos quoque motus de quibus agitur, et numeros per quos illustratur quod in motibus discere volumus, notemus atque signemus vocabulis. Nam eorum distinctio jamdudum, nisi fallor, apparet. Quocirca, si tibi jam videtur, illi ubi multiplicato minore fit major, vocentur complicati; illi autem sesquati, veteri jam nomine. Nam sesque appellatur, ubi duo numeri ad se ea ratione affecti sunt, ut tot partes habeat ad minorem major, quota parte sui eum præcedit: nam si est tria ad duo, tertia parte sui præcedit major minorem; si quatuor ad tria, quarta; si quinque ad quatuor, quinta, atque ita deinceps eadem ratio est et in sex ad quatuor, octo ad sex, decem ad octo; et inde licet hanc rationem et in consequentibus et in majoribus numeris animadvertere atque explorare. Nominis autem hujus originem non facile dixerim: nisi forte sesque quasi se absque dictum, id est absque se, quia quinque ad quatuor, absque quinta parte sua major hoc est quod minor. Quibus de rebus quæro quid tibi videatur. D. Mihi vero et illa ratio dimensionum atque numerorum videtur verissima; et vocabula quæ abs te imposita sunt, congrua mihi videntur commemorandis eis rebus quas intelleximus: et hujus origo nominis quam nunc explicasti, non est absurda, etiamsi forte non ea sit quam secutus est qui hoc nomen instituit.

1 Aliquoties habent minorem major, juxta Vatic. M. 2 In B., appellantur. Vatic., appellatur.

3 In B., omittitur, et, quod ex Vatic. restituimus. M. 4 Si quinque est ad quatuor, juxta Ms. A. et Vatic. M.

CAPUT XI. Motus et numerus in infinitum progrediens ut ad certam formam coercetur.

18. M. Probo et accipio sententiam tuam sed videsne omnes istos rationabiles motus, id est qui ad sese habent aliquam numerorum dimensionem, in infinitum posse per numeros pergere, nisi rursus eos certa ratio coercuerit, et ad quemdam modum formamque revocaverit? Nam ut primo de ipsis æqualibus dicam; unum ad unum, duo ad duo, tria ad tria, quatuor ad quatuor, ac deinceps si persequar, quis finis erit, cum ipsius numeri finis nullus sit? Namque ista vis numero inest, ut omnis dictus finitus sit, non dictus autem infinitus. Et quod æqualibus evenit, hoc etiam inæqualibus evenire potes animadvertere, sive complicatis, sive sesquatis, sive connumeratis, sive dinumeratis. Si enim unum ad duo constituas, et in ea multiplicatione permanere velis, dicendo unum ad tria, unum ad quatuor, unum ad quinque, et deinceps; non erit finis: sive sola dupla, ut unum ad duo, duo ad quatuor, quatuor ad octo, octo ad sexdecim, et deinde; hic quoque nullus est finis: ita et tripla sola et quadrupla sola, et quidquid horum tentare volueris, in infinitum progrediuntur. Ita etiam sesquati: nam duo ad tria, tria ad quatuor, quatuor ad quinque cum dicimus; vides nihil prohibere cætera persequi, nullo resistente fine: sive isto modo velis in eodem genere perseverans, ut duo ad tria, quatuor ad sex, sex ad novem, octo ad duodecim, decem ad quindecim, et deinceps; sive in hoc genere, sive in cæteris, nullus finis occurrit. Quid opus est de dinumeratis jam dicere, cum ex iis quæ jam dicta sunt quivis intelligere possit, in iis quoque gradatim surgentibus nullum esse finem? An tibi non videtur?

19. D. Quid hoc vero verius dici potest? Sed jam illam rationem quæ istam infinitatem revocat ad certum modum formamque præscribit quam excedere non oporteat, avidissime cognoscere exspecto. M. Hanc quoque, ut alia, temetipsum nosse cognosces, cum me interrogante vera responderis. Nam primo abs te quæro, quoniam de numerosis motibus agimus, utrum ipsos debeamus consulere numeros, ut quas nobis leges certas fixasque monstraverint, eas in illis motibus animadvertendas observandasque judicemus. D. Placet vero non enim quidquam ordinatius fieri posse arbitror. M. Ergo ab ipso, si videtur, principio numerorum capiamus considerationis hujus exordium et videamus, quantum pro viribus mentis nostræ talia valemus intueri, quænam sit ratio, ut quamvis per infinitum, ut dictum est, numerus progrediatur, articulos quosdam homines in numerando fecerint ; a quibus ad unum rursus redeant, quod est principium numerorum. In numerando enim progredimur ab uno usque ad decem, atque inde ad unum revertimur: ac si denariam complicationem persequi velis, ut hoc modo progrediaris, decem, viginti, triginta, qua draginta; usque ad centum est progressio: si centenariam, centum, ducenta, trecenta, quadringenta; in

respondendo explicabis. Itaque jam ex te quæro, utrum quisquam possit, et diu et velociter currere. D. Potest. M. Quid, tarde et velociter? D. Nullo modo. M. Aliud ergo est diu, aliud tarde. D. Aliud omnino. M. Item quæro, quid putes diuturnitati esse contrarium, sicuti est tarditati velocitas. D. Non mihi occurrit usitatum nomen. Itaque diuturno nihil video quod opponam, nisi non diuturnum, ut ei quod dicitur, diu, contrarium sit non diu, quia et velociter si nollem dicere, et pro eo non tarde dicerem, nihil aliud significaretur. M. Verum dicis. Nihil enim deperit, cum ita loquimur, veritati. Nam et mihi si est hoc nomen, quod tibi non occurrisse dicis, aut ignoratur a me, aut in præsentia non venit in mentem. Quamobrem sic agamus, ut hæc bina contraria appellemus hoc modo, diu et non diu, tarde et velociter. Ac primum de diuturno et non diuturno disseramus si placet. D. Ita fiat. CAPUT VIII. — Propositio in motu diuturno et non diuturno.

14. M. Manifestumne tibi est, id dici diu fieri quod per longum, id autem non diu quod per breve tempus fit? D. Manifestum. M. Motus igitur qui fit, verbi gratia, duabus horis, nonne ad eum qui una hora fit, duplum habet temporis ? D. Quis hinc dubitaverit? M. Recipit ergo id quod diu vel non diu dicimus dimensiones hujusmodi et numeros, ut alius motus ad alium, tanquam duo ad unum sit; id est ut bis tantum habeat alius quantum semel 1: alius item ad alium tanquam tria ad duo, id est ut tantas tres partes temporis habeat, quantas aliud duas: atque ita per cæteros numeros licet currere, ut non sint spatia indefinita et indeterminata, sed habeant ad se duo motus aliquem numerum; aut eumdem, velut unum ad unum, ad duo duo, ad tria tria, quatuor ad quatuor2: aut non eumdem, ut unum ad duo, duo ad tria, tria ad quatuor ; aut unum ad tria, duo ad sex, et quidquid potest3 aliquid ad sese dimensionis obtinere. D. Planius ita quæso. M. Revertere ergo ad illas horas, et quod satis putabam dictum, cum de una hora et de duabus dixissem, per omnia considera. Certe enim non negas posse fieri aliquem motum tempore unius horæ, et alium duarum. D. Verum est. M. Quid? alium duarum, alium trium non fateris? D. Fateor. M. Et alium tribus horis fieri, alium quatuor; rursus alium una, alium tribus; aut alium duabus, alium sex, nonne manifestum est? D. Manifestum. M. Cur ergo et aliud non manifestum sit? Nam hoc dicebam cum duos motus habere ad se posse aliquem numerum dicerem, velut unum ad duo, duo ad tria, tria ad quatuor; unum ad tria, duo ad sex, et si quos alios recensere volueris. His enim cognitis, est et "potestatis persequi cætera, sive septem ad decem, sive quinque

1 Mss. A et B ac Edd. omnes non habent, alius quantum semel. Sic legit Vatic. Cd. Ut bis tantum habeat spatii, quantum habet ille qui una hora fit. M.

2 Sic veteres Mss.; at Edd. habent:Aut eumdem,ut quantum temporis unus tantum teneat alter, aut eumdem, etc. Sic etiam Ms. A et Cd. Vatic. M.

3 Cd. Vatic., potest omnino, addita voce omnino. M. Cd. Vatic. legit simpliciter, est potestatis, sublata vocula et. M.

ad octo, et quidquid omnino est in duobus motibus ita partes dimensas habentibus ad invicem, ut possint dici tot ad tot; sive æquales numeri sint, sive alius major, alius minor. D. Jam intelligo, et fieri posse concedo.

CAPUT IX.

Motus rationabiles et irrationabiles, connumerati et dinumerati.

15. M. Illud etiam, ut opinor, intelligis, omnem mensuram, et modum immoderationi et infinitati recte anteponi. D. Manifestissimum est. M. Duo igitur motus qui ad sese, ut dictum est, habent aliquam numerosam dimensionem, iis qui eam non habent anteponendi sunt. D. Et hoc manifestum est atque consequens illos enim certus quidam modus, atque mensura quæ in numeris est, sibimet copulat; qua qui carent, non utique sibi aliqua ratione junguntur. M. Appellemus ergo, si placet, illos qui inter se dimensi sunt, rationabiles; illos autem qui ea dimensione carent, irrationabiles. D. Placet vero. M. Jam illud attende, utrum tibi videatur major concordia in motibus rationabilibus eorum qui æquales sunt inter se, quam eorum qui sunt inæquales. D. Cui hoc non videatur? M. Porro inæqualium, nonne alii sunt in quibus possumus dicere, quota parte sua major aut coæquetur minori, aut eum excedat, ut duo et quatuor, vel sex et octo; alii autem in quibus non idem dici potest, sicut in his numeris, tria et decem, vel quatuor et undecim?? Cernis profecto in illis duobus numeris superioribus dimidia parte majorem minori coæquari; in iis rursum quos posterius dixi, minorem a majore quarta parte majoris excedi in his autem aliis, quales sunt tria et decem, vel quatuor et undecim, videmus quidem nonnullam convenientiam, quia partes ad se habent, de quibus dici possit, tot ad tot; sed numquid talem, qualis est in superioribus? Nam neque quota parte minori major æquetur, neque quota parte minorem major excedat, dici ullo modo potest. Nam neque tria quota pars sit denarii numeri, neque quatuor quota pars sit undenarii, dixerit quispiam. Cum autem dico ut consideres quota sit pars, liquidam dico, et sine ullo additamento; sicuti est dimidia, tertia, quarta, quinta, sexta, et deinceps; non ut trientes et semiunciæ, et hoc genus præcisionum aliquid addatur. D. Jam intelligo.

16. M. Ergo ex his inæqualibus motibus rationabilibus, quoniam duo genera subjectis etiam numerorum exemplis proposui, quos quibus anteponendos arbitraris? illosne in quibus illa quota pars dici potest, an in quibus non potest? D. Illos mihi ratio videtur anteponendos jubere, in quibus potest dici, ut demonstratum est, quota parte sui major coæquetur minori, aut eum excedat, iis in quibus idem non evenit. M. Recte. Sed visne etiam his nomina imponamus, ut cum eos deinceps commemorare necesse fuerit,

Mss. plures,et informitati recle anteponi.-Quod etiam ferunt Mss. nostri et Vatic. Cd. M.

2 In B. Inæqualium, nonne alii sunt in quibus possumus dicere, quota parte sua major aut coæquetur minori, aut eum excedat; alii autem in quibus non idem dici potest, sicut in his numeris, duo et quatuor, vel sex et octo, locum hunc damus emendatum ex Vatic. M.

expeditius loquamur? D. Volo, sane. M. Appellemus ergo istos quos præponimus, connumeratos; illos autem quibus hos præponimus, dinumeratos: propterea quia isti superiores non solum singuli numerantur, sed etiam ea parte qua major minori æquatur vel eum excedit, se metiuntur et numerant; illi autem posteriores singillatim tantummodo ad se numerantur, ea vero parte qua vel æquatur minori major, excedit non se metiuntur et numerant. Non enim potest in eis dici, aut quoties habeat minorem major ; aut illud quo excedit major minorem quoties habeat et major et minor. D. Accipio et ista vocabula, et quantum valeo, faciam ut meminerim.

17. M. Age nunc videamus connumeratorum quæ possit esse partitio: namque arbitror eam esse perspicuam. Unum enim genus est connumeratorum, in quo minor numerus metitur majorem ; id est aliquoties eum habet major 1 sicut numeros duo et quatuor esse diximus: videmus enim duo a quatuor bis haberi ; quæ ter haberentur, si non quatuor, sed sex ad duo poneremus; quater autem, si octo; quinquies, si decem. Aliud genus est, in quo ea pars qua excedit major minorem, ambos metitur; id est aliquoties habent eam et major et minor, quod in illis numeris jam perspeximus, sex et octo. Nam pars illa qua exceditur minor, duo sunt, quos vides esse in octonario numero quater, in senario ter: quare hos quoque motus de quibus agitur, et numeros per quos illustratur quod in motibus discere volumus, notemus atque signemus vocabulis. Nam eorum distinctio jamdudum, nisi fallor, apparet. Quocirca, si tibi jam videtur, illi ubi multiplicato minore fit major, vocentur complicati; illi autem sesquati, veteri jam nomine. Nam sesque appellatur, ubi duo numeri ad se ea ratione affecti sunt, ut tot partes habeat ad minorem major, quota parte sui eum præcedit: nam si est tria ad duo, tertia parte sui præcedit major minorem; si quatuor ad tria, quarta; si quinque ad quatuor, quinta, atque ita deinceps eadem ratio est et in sex ad quatuor, octo ad sex, decem ad octo; et inde licet hanc rationem et in consequentibus et in majoribus numeris animadvertere atque explorare. Nominis autem hujus originem non facile dixerim: nisi forte sesque quasi se absque dictum, id est absque se, quia quinque ad quatuor, absque quinta parte sua major hoc est quod minor. Quibus de rebus quæro quid tibi videatur. D. Mihi vero et illa ratio dimensionum atque numerorum videtur verissima; et vocabula quæ abs te imposita sunt, congrua mihi videntur commemorandis eis rebus quas intelleximus: et hujus origo nominis quam nunc explicasti, non est absurda, etiamsi forte non ea sit quam secutus est qui hoc nomen instituit.

1 Aliquoties habent minorem major, juxta Vatic. M. 2 In B., appellantur. Vatic., appellatur.

3 In B., omittitur, et, quod ex Vatic. restituimus. M. Si quinque est ad quatuor, juxta Ms. A. et Vatic. M.

18. M. Probo et accipio sententiam tuam sed videsne omnes istos rationabiles motus, id est qui ad sese habent aliquam numerorum dimensionem, in infinitum posse per numeros pergere, nisi rursus eos certa ratio coercuerit, et ad quemdam modum formamque revocaverit? Nam ut primo de ipsis æqualibus dicam; unum ad unum, duo ad duo, tria ad tria, quatuor ad quatuor, ac deinceps si persequar, quis finis erit, cum ipsius numeri finis nullus sit? Namque ista vis numero inest, ut omnis dictus finitus sit, non dictus autem infinitus. Et quod æqualibus evenit, hoc etiam inæqualibus evenire potes animadvertere, sive complicatis, sive sesquatis, sive connumeratis, sive dinumeratis. Si enim unum ad duo constituas, et in ea multiplicatione permanere velis, dicendo unum ad tria, unum ad quatuor, unum ad quinque, et deinceps; non erit finis: sive sola dupla, ut unum ad duo, duo ad quatuor, quatuor ad octo, octo ad sexdecim, et deinde; hic quoque nullus est finis: ita et tripla sola et quadrupla sola, et quidquid horum tentare volueris, in infinitum progrediuntur. Ita etiam sesquati: nam duo ad tria, tria ad quatuor, quatuor ad quinque cum dicimus; vides nihil prohibere cætera persequi, nullo resistente fine: sive isto modo velis in eodem genere perseverans, ut duo ad tria, quatuor ad sex, sex ad novem, octo ad duodecim, decem ad quindecim, et deinceps; sive in hoc genere, sive in cæteris, nullus finis occurrit. Quid opus est de dinumeratis jam dicere, cum ex iis quæ jam dicta sunt quivis intelligere possit, in iis quoque gradatim surgentibus nullum esse finem? An tibi non videtur?

19. D. Quid hoc vero verius dici potest? Sed jam illam rationem quæ istam infinitatem revocat ad certum modum formamque præscribit quam excedere non oporteat, avidissime cognoscere exspecto. M. Hanc quoque, ut alia, temetipsum nosse cognosces, cum me interrogante vera responderis. Nam primo abs te quæro, quoniam de numerosis motibus agimus, utrum ipsos debeamus consulere numeros, ut quas nobis leges certas fixasque monstraverint, eas in illis motibus animadvertendas observandasque judicemus. D. Placet vero: non enim quidquam ordinatius fieri posse arbitror. M. Ergo ab ipso, si videtur, principio numerorum capiamus considerationis hujus exordium et videamus, quantum pro viribus mentis nostræ talia valemus intueri, quænam sit ratio, ut quamvis per infinitum, ut dictum est, numerus progrediatur, articulos quosdam homines in numerando fecerint ; a quibus ad unum rursus redeant, quod est principium numerorum. In numerando enim progredimur ab uno usque ad decem, atque inde ad unum revertimur: ac si denariam complicationem persequi velis, ut hoc modo progrediaris, decem, viginti, triginta, quadraginta; usque ad centum est progressio: si centenariam, centum, ducenta, trecenta, quadringenta; in

4

1 In B., al. Ms. A, ac, et melius. M.

mille est articulus a quo redeatur. Quid jam opus est ultra quærere? Vides certe quos articulos dicam, quorum prima regula denario numero præscribitur. Nam ut decem, decies habent unum; ita centum, decies habent eosdem decem; et mille, decies habent centum; et ita deinceps quousque libitum est progredi, ibit in hujuscemodi quasi articulis, quod in denario numero præfinitum est. An aliquid horum non intelligis? D. Manifestissima sunt omnia, et verissima. CAPUT XII. Cur ab uno ad decem progressus, et

inde ad unum reditus in numerando fiat.

20. M. Hoc ergo quantum diligenter possumus perscrutemur, quænam sit ratio ut ab uno usque ad decem progressus, et inde rursus ad unum reditus fiat. Unde abs te quæro, utrum quod vocamus principium, possit omnino nisi alicujus esse principium. D. Nullo modo potest. M. Item quod dicimus finem, potestne nisi alicujus rei finis esse? D. Etiam id non potest. M. Quid? a principio ad finem num putas perveniri posse, nisi per aliquod medium? D. Non puto. M. Ergo ut totum aliquid sit, principio et medio et fine constat. D. Ita videtur. M. Dic itaque nunc, principium, medium et finis, quo numero tibi contineri videantur. D. Arbitror ternarium numerum te velle ut respondeam tria enim quædam sunt, de quibus quæris. M. Recte arbitraris. Quare in ternario numero quamdam esse perfectionem vides, quia totus est: habet enim principium, medium et finem. D. Video plane. M. Quid? illud nonne ab ineunte pueritia didicimus, omnem numerum aut parem esse, aut imparem? D. Verum dicis. M. Recordare ergo dic mihi, quem soleamus dicere parem, quem imparem numerum. D. Ille qui potest in duas partes æquales dividi, par; qui autem non potest, impar vocatur.

21. M. Rem tenes. Cum igitur ternarius primus sit totus impar; et principio enim, et medio, et fine constat, ut dictum est; nonne oportet etiam parem esse totum atque perfectum, ut in eo etiam principium, medium, finisque inveniatur? D. Oportet sane. M. At iste quisquis est, non potest habere individuum medium sicut impar: si enim haberet, non posset in duas æquales partes dividi, quod esse proprium paris numeri diximus. Individuum autem medium est unum, dividuum duo. Medium autem est in numeris, a quo ambo latera sibimet sunt æqualia. An aliquid obscure dictum est, minusque assequeris? D. Imo mihi et hæc manifesta sunt, et dum quæro totum numerum parem, quaternarius primus occurrit. Nam in duobus quomodo possunt tria illa inveniri, per quæ totus est numerus, id est principium, medium et finis? M. Idipsum omnino abs te responsum est quod volebam, et quod ipsa ratio cogit fateri. Repete itaque ab ipso uno tractationem, atque considera; videbis profecto ideo unum non habere medium et finem, quia tantum principium est; vel ideo esse principium, quia medio et fine caret. D. Manifestum est. M. Quid ergo dicemus

1 Lov., progrediuntur in hujuscemodi quasi articulis. Am. et Er., Progredi, vivit in hujuscemodi, etc.; at Mss. meliores habent, progredi ibit, etc.

de duobus? Num possumus in eis intelligere principium et medium, cum medium esse non possit, nisi ubi finis est; aut principium et finem, cum ad finem nisi per medium non queat perveniri? D. Urget ratio confiteri ; et quid de hoc numero respondeam, prorsus incertus sum. M. Vide ne1 iste quoque numerus possit principium esse numerorum. Num si medio caret et fine, quod, ut dixisti, cogit ratio confiteri ; quid restat, nisi ut sit hoc quoque principium? An dubitas duo principia constituere? D. Vehementer dubito. M. Bene faceres, si ex adverso sibi constituerentur duo principia: nunc autem hoc alterum principium de illo primo est, ut illud a nullo sit, hoc vero ab illo: unum enim et unum duo sunt, et principia ita sunt ambo, ut omnes numeri quidem ab uno sint; sed quia per complicationem atque adjunctionem quamdam fiunt, origo autem complicationis et adjunctionis duali numero recte tribuitur: fit ut illud primum principium a quo numeri omnes; hoc autem alterum per quod numeri omnes, esse inveniantur. Nisi quid habes adversum ista quod disseras. D. Ego vero nihil, et sine admiratione ista non cogito; quamvis ea, interrogatus abs te, ipse repondeam.

22. M. Subtilius ista quæruntur atque abstrusius in ea disciplina quæ est de numeris: hic autem nos ad institutum opus quanto citius possumus, redeamus. Quocirca quæro, uni duo juncta quid faciunt? D. Tria. M. Ergo hæc duo principia numerorum sibimet copulata, totum numerum faciunt atque perfectum. D. Ita est. M. Quid ? in numerando post unum et duo quem numerum ponimus? D. Eadem tria. M. Idem igitur numerus, qui fit ex uno et duobus, post urumque in ordine collocatur, ita ut nullus alius interponi queat. D. Ita video. M. Atqui et illud videas oportet, in nullis reliquis numeris id posse contingere, ut cum duos quoslibet sibimet in numerandi ordine copulatos notaveris, consequatur eos ille qui ex ambobus conficitur nullo interposito. D. Id quoque video: nam duo et tria, qui sibi numeri copulati sunt, in summa quinque faciut: non autem quinque continuatim sequuntur, sed quatuor. Rursus tria et quatuor septem conficiunt inter quatuor autem ac septem, quinque atque sex ordinati sunt. Et quanto progredi voluero, tanto plures interponuntur. M. Magna hæc ergo concordia est in prioribus tribus numeris: unum enim et duo et tria dicimus, quibus nihil interponi potest: unum autem et duo, ipsa sunt tria. D. Magna prorsus. M. Quid? illud nullane consideratione dignum putas, quod ista concordia quanto est arctior atque conjunctior, tanto magis in unitatem quamdam tendit, et unum quiddam de pluribus efficit? D. Imo maxima, et nescio quomodo, et miror, et amo istam quam commendas unitatem. M. Multum probo; sed certe quælibet rerum copulatio atque connexio tunc maxime unum quiddam efficit, cum et media extremis, et mediis extrema consentiunt. D. Ita certe oportet. 23. M. Attende igitur ut hoc in ista connexione vi

1 Vide an iste, juxta Mss. A. M.

leamus. Nam cum unum, duo, tria dicimus, nonne quanto unum a duobus, tanto duo a tribus superantur? D. Verissimum est. M. Dic jam nunc mihi, in ista collatione quoties unum nominaverim. D. Semel. M. Tria quoties? D. Semel. M. Quid, duo? D. Bis. M. Semel ergo, et bis, et semel, quoties fit in summa? D. Quater. M. Recte igitur istos tres quaternarius numerus sequitur; ei quippe tribuitur ista proportione collatio. Quæ quantum valeat, eo jam assuesce cognoscere, quod illa unitas quam te amare dixisti, in rebus ordinatis hac una effici potest, cujus græcum nomen ávaλoyía est, nostri quidam proportionem vocaverunt, quo nomine utamur, si placet: non enim libenter, nisi necessitate, græca vocabula in latino sermone usurpaverim. D. Mihi vero placet: sed perge quo intenderas. M. Faciam. Nam quid sit proportio, quantumque in rebus juris habeat, et suo loco in hac disciplina diligentius requiremus; et quanto in eruditione promotior eris, tanto ejus vim melius naturamqne cognosces. Sed vides certe, quod in præsentia satis est, tres illos numeros, quorum mirabare concordiam, sibimet in eadem connexione nisi per quaternarium numerum non potuisse conferri. Quamobrem post illos se ordinari, sic ut illa concordia cum his arctiore copuletur, quantum intelligis jure impetravit ; ut jam non unum, duo, tria tantum; sed unum, duo, tria, quatuor, sit amicissime copulata progressio numerorum. D. Omnino assentior.

24. M. At cætera intuere, ne arbitreris nihil habere proprium quaternarium numerum, quo reliqui omnes numeri careant, quod valeat ad istam connexionem de qua loquor, ut ab uno usque ad quatuor certus sit numerus, et pulcherrimus progrediendi modus. Convenerat quippe inter nos superius, tunc ex pluribus unum aliquid maxime fieri, cum extremis media, et mediis extrema consentiunt. D. Ita est. M. Cum ergo collocamus unum et duo et tria, dic quæ sint extrema, quod medium. D. Unum et tria extrema video, duo medium. M. Responde nunc, ex uno et tribus quid conficiatur. D. Quatuor. M. Quid? duo qui unus in medio numerus est, num potest nisi sibi conferri? Quamobrem dic etiam duo bis quid conficiant. D. Quatuor. M. Ita ergo medium extremis, et medio extrema consentiunt. Quamobrem sicut excellit in tribus, quod post uuum et duo collocantur, cum ex uno et duobus constent; sic excellit in quatuor, quod post unum et duo et tria numerantur, cum constet ex uno et tribus, vel bis duobus; quæ extremorum cum medio, et medii cum extremis, in illa quæ græce ávaλoría dicitur, proportione consensio est. Quod utrum intellexeris pande. D. Satis intelligo.

25. M. Tenta ergo in reliquis numeris, utrumne inveniatur quod quaternarii numeri proprium esse diximus. D. Faciam. Nam si constituamus duo, tria, quatuor, extrema collata fiunt sex; hoc facit et medium sibi collatum: nec tamen sex, sed quinque consequuntur. Rursus tria, quatuor et quinque constituo; extrema octo faciunt, medium quoque bis ductum : at 'Imperavit, juxta Mss. A et B. M.

PATROL. XXXII.

inter quinque et octo, non jam unum, sed duos, senarium scilicet et septenarium numeros interpositos video. Atque illa ratione quantum progredior, tanto hæc fiunt intervalla majora 1. M. Video te intellexisse, et omnino scire quod dictum est; sed jam ne immoremur, animadvertis certe ab uno usque ad quatuor justissimam fieri progressionem: sive propter imparem ac parem numerum, quoniam primus impar totus tria, et primus par totus quatuor, de qua re paulo ante tractatum est; sive quia unum et duo principia sunt, et quasi semina numerorum, e quibus ternarius conficitur, ut sint jam tres numeri; qui sibi dum proportione conferuntur, quaternarius elucescit et gignitur, et propterea eis jure conjungitur, ut usque ad illum fiat ea, quam quærimus moderata progressio. D. Intelligo.

26. M. Bene sane. Sed meministine tandem quid institueramus inquirere ? Nam, ut opinor, propositum erat, si quomodo invenire possemus, cum in illa infinitate numerorum certi articuli essent numerantibus constituti, quid esset causæ cur ipse primus articulus in denario numero esset, qui per omnes cæteros valet plurimum; id est, cur ab uno usque ad decem progressi numerantes rursum ad unum remearent? D. Recordor plane quæstionis hujus causa nos tantum circumisse sed quid effecerimus quod ad eam solvendam pertineat, non invenio. Siquidem illa omnis nostra ratiocinatio ad id conclusa est, ut non usque ad denarium, sed usque ad quaternarium numerum sit justa et moderata progressio. M. Tune igitur non vides, ex uno et duobus, et tribus et quatuor quæ summa conficiatur? D. Video jam, video, et miror omnia, et ortam quæstionem solutam esse confiteor: unum enim et duo et tria et quatuor simul decem sunt. M. Ergo istos quatuor primos numeros, seriemque et connexionem eorum honorabilius haberi, quam cætera, in numeris convenit.

CAPUT XXIII.

De proportionatorum motuum decore quatenus sensibus judicantur.

27. Tempus est autem ad illos motus redire tractandos et discutiendos, qui huic disciplinæ proprie tribuuntur, et propter quos ista de numeris, de alia scilicet disciplina, quantum pro negotio satis visum est, consideravimus. Itaque nunc abs te quæro, quoniam intelligendi gratia in horarum spatio motus constituebamus, quos ad se invicem habere aliquam numerosam dimensionem ratio demonstrabat; utrum si quisquam mora unius horæ currat, et alius deinceps duarum, possis non inspecto horologio vel clepsydra, vel aliqua hujuscemodi temporum notatione sentire illos duos motus, quod unus simplus, alius duplus sit vel etiamsi id non possis dicere, illa tamen congruentia delectari, atque aliqua voluptate affici. D. Nullo modo possum. M. Quid, si quispiam numerose plaudat, ita ut unus sonitus simplum, alter duplum temporis teneat, quos iambos pedes vocant, eosque continuet atque contexat; alius autem ad 1 In. B., faciunt intervella majora, Mss. A. fiunt. M.

(Trente-cinq.)